人教版高中数学《等差数列的前n项和》说课稿 - 下载本文

人教版高中数学《等差数列的前n项和》说课稿

一、教材透视

(一)教材地位与作用

等差数列前n项和是《数列》一章中的重要知识点,是后继数学学习的重要基础。推证等差数列前n项和公式的“倒序相加法”是数列求和的一种常用方法。本节课的学习过程将涉及“特殊到一般的思想”、“转化思想”、“方程思想”、“数形结合”等众多数学思想方法的灵活和综合应用。因此学好本节课对于后继数学学习和提升数学能力都有十分重要的意义。

(二)教学目标

根据本课内容的特点及课标要求,结合学生已有的“数学现实”和认知特点,我将本课教学目标定位为:

(1)知识与技能:理解等差数列前n项和公式的推证方法;掌握公式的运用。

(2)过程与方法:在观察、思考、尝试等数学活动中履历公式的探究推证过程,体会“数形结合”、“特殊到一般”等数学思想方法在数学解题中的巧妙运用。

(3)情感、态度与价值观:在观察、探究、应用、反思中体会数学的思想美和方法美,感悟人类智慧的神奇和伟大,在师生、生生的交流合作中体验学习和成功的乐趣。

(三)教学重点、难点

本节课是一堂公式教学课,我认为这类课的教学重点应是引导学生历经公式的探究推证过程和公式的应用过程,于是我把本课的教学重点、难点确定为: 教学重点:等差数列前n项和公式推证和应用。 教学难点:等差数列前n项和公式推证思路的探求。

二、学情分析

学生已有“等差数列初步知识”的数学现实,部分学生还可能听过或看过高斯小时候解决“1?2?3?4??100??”的故事,但“倒序相加法”学生未接触过,需要教师有意

识的引导和点拨。直接套用公式学生应无障碍,但变式应用还需教师引导。鉴于此,在学法上我打算从以下两方面给予指导:

(1)学会借助几何直观诱发思维、探究方法本质;善于从特殊入手,然后将结论或方法

迁移到一般。

(2)注意公式的各种变式并学会合理选择公式。

三、教法厘定 (一)教学方法选取

数学教育学家波利亚曾经说过:“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现,因为这种发现理解最深刻,也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”根据高二学生的认识特点和知识水平,为落实重点、突破难点,我打算采用实践尝试法、启发探究法、练习巩固法等教学方法进行教学,让学生在自主探索中学习知识,掌握方法,提高能力。

(二) 教学媒体利用

为了加大课堂容量和学生的思维活动量,根据现代教学理论,本课采用多媒体课件进行教学,将抽象数学问题直观化、具体化、形象化,通过数形结合,图表并用,让学生在生动具体的情境中感悟知识的发生和发展过程,优化学生对知识的理解和掌握。

四、程序预设

为了提高教学的有效性,全面达成教学目标,本课我预设了如下七个教学环节:

(一)创设情景,引入课题

[播放投影]:泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,是世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度,可见一斑。 [提出问题]:

问题1:从第1层到第100层共有多少颗宝石?

[设计意图]:数学是人类文化的重要组成部分,它的内容、思想、方法和语言与现代文明息息相关。将文化内涵浓厚的“古迹”融入课堂,使枯燥抽象的数学变得生动形象,饶有趣味,可以激发学习数学的兴趣,提高教学的有效性。

问题1实际上就是求 1?2?3?4??100??,部分学生可能在小学时就听过或

看过高斯解决此题的故事,知道应用“首尾配对”的方法求解,因此设置问题1具有诱发学生联想回忆的作用。

[旁白]实际教学中,一位同学主动与大家分享了高斯解决此题的故事,还将具体过程呈现在黑板上。 这位同学的讲解激活了整个课堂气氛,同时诱发了其它同学对高斯方法的兴趣。[视频1]

在本课的教学设计中,我估计学生对高斯方法的认识依然属于记忆、模仿的阶段,还没有触及方法本质,因此,我预计了问题2:

问题2:从第1层到第91层共有多少颗宝石?

问题二是求前奇数个正整数和的问题,它不能简单模仿前偶数个正整数和的办法。我预计学生当中可能有不同的解法,可能还有错解。

[旁白]实际教学过程中,证明了我的估计。学生先分组讨论,再由各组代表板书其解法,结果果真如此。主要出现了以下三种不同的解法: [视频2] 解法一: 解法二:

1?2?3??91?(1?91)?(2?90)?90??(1?91)2?4140解法三:

1?2?3??91?(1?91)?(2?90)?

?45?(1?91)?46?4186?(45?47)?46

1?2?3??91?(1?91)?(2?90)??45?(1?91)?45?4185?45

用解法一的学生误认为从1到91共有90项导致求解错误;用解法二和解法三的学生则认识到这是个求奇数个项的和的问题,需先找到中间项,再求解。至此,学生发现用高斯“首尾配对求法”需分奇数个项和偶数个项求解,然而有奇数个项时,中间项不易确定,思维易受阻。于是为了进一步认识“高斯法”的本质,我设置了问题3:

问题3:有无更简单的方法?

让学生思考片刻后,根据学生的反应通过多媒

体适时展示右图进行启发。

[旁白]借助几何直观, 学生悟出了“把三角形倒置与原图补成平行四边形”的方法本质,得到了第四种解法:S91?(1?91)?91。至此,“倒序相加法”出现已水到渠成。

2[设计意图]几何直观能启迪思维,诱发联想,认识本质,降低思维难度,它是学习数学和理解数学的重要方法。

作为方法的应用和问题的一般化,我再趁势给出问题4: 问题4: 1+2+3+4++n=?

[设计意图]:问题4是为推证等差数列前n项和公式作铺垫的。

(二)尝试活动、获得新知

1.交流讨论、推导公式

[学生自主探究1]:如何求等差数列?an?前n项和Sn?

由于前面的铺垫,我估计学生容易作出如下推证过程:

sn?a1?a2?sn??a3??an?a1sn?an?an?1?an?2?n(a1?an)2[设计意图]:通过层层递进的探究过程,我认为学生完全能自主完成公式的推证,难点自然突破。值得说明的是,在教材处理上我没有沿用教材方法,而是利用等差数列的性质简化了求前n项和的过程,我认为这样做能使公式推证过程更简单,更自然,更符合学生的实际。

为了深化对公式的认识,我引导学生对公式进行变式: [学生自主探究2]:

公式1Sn?

n(a1?an)2an?a1?(n?1)d

d公式2Sn?na1?n(n?1)d2公式3Sn?dn2?(a1?)n?an2?bn2 22.类比反思,强化记忆

为了帮助学生记忆和认识公式,我又增设了引导学生类比梯形面积公式的这一教学环节(多媒体展示)。

[设计意图]: 等差数列公式涉及的量比较多,学生刚接触不易记忆,类比梯形面积公式,能使学生更形象、深刻理解记忆公式。这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前n项和的两个公式,数与形和谐统一,数学美油然而生。

(三)初步运用,熟悉公式

我们常说,学习的目的在于应用。为此我设计例1。 [例1](1)如图1,某电影院有20排座位, 第一排有16个座位,后一排比前排多2个 座位,问这个剧场共有多少个座位?

(2)如图2,表示堆放的钢管,共堆放了8层。 请你计算钢管的总数。

[设计意图] 本例是由课本例1改成的两个简单的生活实例,其目的有二:一是让学生认识数学是有用,感受数学的应用价值;二是引导学生学会选择适当的公式计算,并熟悉五个基本量间的关系。

(四)例题练评,内化新知

为了强化公式的应用,内化新知,我设置了例2和变式练习1、2。 [例2] 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多少项的和为54? [变式练习1] 在等差数列?an?中,a1?20,an?54,sn?999,求n [变式练习2]在等差数列?an?中,已知an?3115,d?,Sn??,求a1及n。 222[设计意图]:通过本例及变式练习,可以深化对等差数列中“知三求二”问题的理解和掌握,其解答过程体现了“方程思想”的应用。

(五)尝试练习,提升能力